Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

а) M1 = {z½½z - i½£ 1}, M2 = {z½½z - 2 - 3i½£ 1};

б) M1 = {z½½z - 2i½£ 1}, M2 = {z½arg z = }.

27. Найти точку на окружности, имеющую наименьший положительный аргумент:

а) ½z - 3i½= 2; в) ½z - 2 - 3i½= 1;

б) ½z - 1 - 2i½= 1; г) ½z + 1 - i½=.

27. Доказать, что для любых комплексных чисел справедливо равенство

½x + y½2 + ½x - y½2 = 2(½x½2 + ½y½2).

Объяснить его геометрический смысл.

28. Доказать, что если ½z½< , то

а) ½(1 + i)z3 + iz ½< ; б) ½(2 + 3i)z5 + (1- i)z ½<.

Прежде чем приступать к решению следующих задач необходимо рассказать о произведении и частном комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

29. Выполнить действия над комплексными числами:

а) (1 - i)(cosj - i sinj); б) ;

30. Найти модуль и наименьший положительный аргумент комплексного числа:

а) (i +)(1 - i)(1 + i); б) (1 - i)( - i).

31. Вывести формулу Муавра: (cosj + i sinj)n = cosnj + i sinnj.

Алгебраические числа

1. Доказать, что множество всех чисел указанного вида является полем

а) , б) a + bi, где a, b – рациональны, i – мнимая единица.

2. Среди чисел найти рациональные.

а) , б) , в) , г) .

3. Доказать иррациональность чисел:

4. Известно, что p - неалгебраическое число. Какие из чисел являются алгебраическими: а) p3 + p + 1, б) p + 1/p, в) p + 1/p + 1.

5. Можно ли построить с помощью циркуля и линейки треугольник равновеликий кругу радиуса 1?

6. Является ли число алгебраическим? Можно ли его построить с помощью циркуля и линейки?

Теорема Кантора

1. Как установить взаимно-однозначное соответствие между

а) замкнутыми отрезками разной длины;

б) окружностями разного радиуса;

в) кругом и областью ограниченной квадратом;

г) открытым отрезком и замкнутым отрезком;

д) отрезком и лучом;

е) отрезком и прямой;

ж) прямой и окружностью?

2. Как вы думаете где больше точек на прямой, на плоскости или в пространстве?

3. Докажите, что конечных последовательностей из 0 и 1 счетное множество?

4. Каким может быть подмножество счетного множества?

5. Докажите, что бесконечных последовательностей из 0 и 1 столько же сколько точек на отрезке.

6. Почему конечных последовательностей натуральных чисел счетное число?

7. Сколько можно расположить на плоскости непересекающихся букв «Г» одного размера; а букв «О»?

Особенности творческого воображения у детей
Творческое воображение зависит от многих факторов: возраста, умственного развития и особенностей развития (присутствия какого-либо нарушения психофизического развития), индивидуальных особенностей ли ...

Методики изучения эффективности воспитательного процесса
В словаре «Психология», редакторами которого являются известные ученые А.В. Петровский и М.Г. Ярошевский, утверждается, что при исследовании эффективности человеческой деятельности можно использовать ...