Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

Список упражнений и задач для контроля

Симметрические многочлены

1. Напишите несколько переименований для 5 переменных: x, y, z, p, q.

2. Допустим, что мы выполнили последовательно переименования (12) и (13). Тогда получилось новое переименование, которое назовем произведением и запишем в виде (12)(13). Найти произведения: (12)(13), (12)(123), (12)(123)(12).

3. Приведите пример симметрического многочлена от 3, 4, 5 переменных.

4. Проверьте симметричность многочленов относительно указанных переменных:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) xy + zt + x3,

б) x3 + y3 + z3 + t2, г) x2 + y2 – xy.

5. Перечислите элементарные симметрические многочлены от x, y, z, t.

6. Восстановите многочлен, если известно его представление через элементарные симметрические многочлены:

а) f = φ13 - 3φ1φ2, в) f = φ14 - φ22 - φ1φ3,

б) f = φ13 - 4φ1φ2 + φ3, г) f = φ12φ2 - 3φ4.

7. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) (x + y)(y + z)(z + x),

б) x2y + xy2 + x2z + zx2 + y2z + yz2, г) (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y).

8. Расположите в убывающем порядке векторы показателей данной степени для старших членов, меньших данного набора:

(2,2,0,0,0), (3,0,0,0), (3,1,0,0,0), (3,3,0,0), (2,2,2,0), (4,1,0,0).

9. Сколько существует элементарных симметрических многочленов от 3 и 4 переменных? Перечислите их.

10. Как записать симметрическую дробь f/g в виде дроби с несимметричным знаменателем?

11. Почему симметрическую дробь можно представить в виде отношения двух симметрических многочленов?

12. Найти значение симметрического многочлена S от корней многочлена f:

а) S = x12x22 + …, f = x2 - x – 1; б) S = x12x2x3 + …, f = 2x2 - 3x + 1.

13. Пусть x1, x2, x3 – корни уравнения

а) x3 - 3x + 1 = 0, в) x3 - 2x2 + 3x – 1 = 0,

б) x3 + 3x – 1 = 0, г) x3 + 3x2 - 2x – 1 = 0.

Составить уравнения, имеющие указанные корни:

1) а) x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, б) x1 + x2 - x3, x2 + x3 - x1, x3 + x1 - x2,

2) а) 1/x1, 1/x2, 1/x3, б) 1/x1 + 1/x2, 1/x2 + 1/x3, 1/x3 + 1/x1,

3) а) x12, x22, x32, б) x1x2, x2x3, x3x1.

Комплексные числа

1. Вычислить:

а) (1 + 2i)(2 + 3i); б) (5 - 2i)(2 - 3i), в) (2 + 3i)(3 - 4i);

г) (1 + 2i)2, д) (1 + i)4, е) (1 + i)100.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) ; г).

3. Упростить выражение, считая действительными числа a и b:

а) (2 + i)5 +(2 - i)5, б) (1 + 2i)5 +(1 - 2i)5;

в), г);

4. Какие действительные числа a и b удовлетворяют уравнению:

а) (1 + i)a + (2 + 3i)b = 1 + 2i; б) (1 - 2i)a + (4 - 3i)b = 6 - 7i ?

5. Найти комплексные числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

(3 - i)x + (4 + 2i)y = -1 + 3i, (4 + 2i)x - (2 + 3i)y = 7.

6. Найти комплексные корни квадратного уравнения:

а) z2 + (2 - i)z - 3(1 + i) = 0; г) z2 - 5z + 7 + i = 0;

б) z2 + (1 + i)z - 3(2 - i) = 0; д) z2 - (2 + i) z + (-1 + 7i) = 0;

в) z2 - 3z + 3 + i = 0; е) z2 - (3 - 2i) z + (5 - 5i) = 0.

Определение. Комплексное число a - bi называется комплексно сопряженным к числу a + bi; обозначение .

7. Доказать свойства комплексного сопряжения:

а) ; б) ; в) ; г) .

Характеристика видов музыкальной деятельности младших школьников
Музыка и различные виды музыкальной деятельности обладают специфическими возможностями воздействия на формирование личности человека. В силу того, что музыка воспринимается эмоционально, она имеет ог ...

Комплекс игровых упражнений по развитию звукопроизношения у детей старшего дошкольного возраста с ЗПР
Нами в течение 5 недель были проведены коррекционные занятия, направленные на формирование правильного звукопроизношения у испытуемых. Занятия проводились в формате индивидуальной и фронтальной работ ...