О тригонометрических функциях и о развитии тригонометрии

Индийские ученые положили начало учению о тригонометрических величинах, которые они рассматривали в пределах первой четверти круга. Синус и косинус встречаются в индийских астрономических сочинениях уже в IV — V вв. Заменив хорду синусом, индийцы вначале называли синус «ардхаджива», т. е. половина хорды («джива» — хорда, тетива лука), а позже просто «джива». Это слово было, как полагают, искажено арабами в «джайб», означающее по-арабски пазуха, выпуклость. Слово «джайб» было переведено в XII в. на латынь соответствующим словом sinus. Косинус индийцы называли «котиджива», т.е. синус остатка (до четверти окружности). В XV в. Региомонтан, как и другие математики, применял для понятия «косинус дуги (х)» латинский термин sinus complementi, т.е. синус дополнения, имея в виду . От перестановки этих слов и сокращения одного из них (cosinus) образовался термин «косинус», встречающийся в 1620г. у английского астронома Э. Гунтера, изобретателя логарифмической линейки.

В IX — X вв. ученые стран ислама (ал-Хабаш, ал-Баттани, Абу-л-Вафа и др.) ввели новые тригонометрические величины: тангенс и котангенс, секанс и косеканс. В частности, ал-Баттани установил, что в прямоугольном треугольнике острый угол можно определить отношением одного катета к другому. Происхождение названий двух тригонометрических функций, тангенса и секанса (термины, введенные в 1583 г. немецким математиком Т. Финком), связано с геометрическим их представлением в виде отрезков прямых. Латинское слово tangens означает касающийся (отрезок касательной), secans — секущий (отрезок секущей). Термины «котангенс» и «косеканс» были образованы в средние века по аналогии с термином «косинус». Все три термина вошли во всеобщее употребление в первой половине XVII в. Сферическая тригонометрия, непосредственно применявшаяся в астрономии, начала развиваться раньше плоской как часть астрономии и самостоятельно не существовала. Выдающийся ученый Насир ад-Дин ат-Туси (1201 — 1274), уроженец иранского города Туc, первый открыл путь к отделению тригонометрии от астрономии и выделению ее в самостоятельную дисциплину. Его труд «Китаб аш-шакл ал-кита» (книга о фигуре из секущих), называемый также «Трактатом о полном четырехугольнике», является первым в мире сочинением, специально посвященным тригонометрии. В нем достаточно полно изложено то, что было установлено раньше, а также отдельные исследования самого автора. Тригонометрический труд ат-Туси, как полагают некоторые ученые, оказал влияние на европейских математиков, в частности на Региомонтана.

В XV в. Региомонтан сыграл в Европе примерно ту же роль, какую играл Насир ад-Дин в странах ислама за двести лет до него. Труд Региомонтана «Пять книг о треугольниках всех видов» в свою очередь - имел большое значение для дальнейшего развития тригонометрии. Другие работы в области тригонометрии принадлежат Копернику, Виету, Кеплеру. Таким образом, процесс накопления тригонометрических знаний привел к тому, что, начиная примерно с XIII в., накопленный материал стал подвергаться систематизации, составляя отдельную, все более самостоятельную область математики - тригонометрию. Принципиально новый этап в развитии тригонометрии состоял в установлении связей этой науки с алгеброй. Начало этому было положено в конце XVI в. Франсуа Виетом (1540—1603). Виет, французский математик, известный главным образом своими открытиями в алгебре, выпустил в 1579 г. в Париже обширные математические таблицы («Canon mathaticus»), содержащие главным образом тригонометрические таблицы, в которых радиус круга принимала за 100 000. Уже в «Каноне» и особенно в XIX главе «Восьмой книги» Виет формулирует без доказательств всю систему утверждений сферической тригонометрии. Указанные теоремы косинусов Виет формулирует в предложениях 15 и 16 этой главы следующим образом:

«XV. Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три стороны, то можно найти и углы.»

«XVI. Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три угла, то можно найти стороны.»

Полная аналогия между этими двумя предложениями указывает на то, что Виету была совершенно ясна связь между обеими теоремами косинусов и, весьма возможно, он знал, что вторая из них может быть получена из первой с помощью полярного треугольника. Он вывел среди многих других тригонометрических формул, выражения для синусов и косинусов кратных дуг. С тех пор установление связей между тригонометрией и алгеброй посредством взаимных интерпретаций прочно вошло в практику математических исследований.

Следующий этап обогащения содержания тригонометрии состоял в установлении более общей трактовки тригонометрических функций на базе математического анализа. Содержание тригонометрии, равно как и средства ее аналитического выражения, достигли состояния, близкого к современному, более 200 лет тому назад, во второй половине XVIII в. Сущность произведенных в то время преобразований состояла в радикальной перестройке тригонометрии на алгебраическо-аналитической основе, позволяющей ей сделаться важной частью математического анализа. Решающая роль в этом принадлежит Леонарду Эйлеру (1707—1783).

Методические рекомендации по реализации развивающего обучения на уроках английского языка в средней школе
Сравнив полученные результаты с первоначальными данными нами были предложены методические рекомендации для каждой группы учащихся. В 7А классе была проблема с размером текстов, которые учащиеся расск ...

Оформление участка и зала
Физкультурные праздники должны выделяться на фоне повседневной жизни не только выступлением ребят, но изменением привычного вида площадки, зала, групповой комнаты. Яркое красочное оформление мест для ...