Основные типы поверхностей второго порядка и их свойства

Эллипсоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом. Эллипсоид изображен на рисунке 1.

Рис.1

Свойства эллипсоида

Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Эллиптический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Эллиптический параболоид изображен на рисунке 2.

Рис.2

Свойства эллиптического параболоида

Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - парабола.

Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом. Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 3.

Рис.3

Свойства однополостного гиперболоида

Однополостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z - любое число.

Однополостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - гипербола.

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид изображен на рисунке 4.

Рис.4

Свойства двуполостного гиперболоида

Двуполостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z|>c получается эллипс, при |z|=c - точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, - гипербола.

Коническая поверхность

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется конической поверхностью. Коническая поверхность изображена на рисунке 5.

Методика социально-педагогического семейного консультирования
Семейное консультирование представляет собой оказание социально-педагогической консультативной помощи при социальных проблемах, конфликтах между взрослыми и детьми в семье. В отличие от социально-пси ...

Особенности дизонтогенеза речевого и психического развития детей младшего школьного возраста
Этот параграф мы посвятили изучению отклонений в речевом и психическом развитии детей младшего дошкольного возраста. Нам необходимо это исследование для того, чтобы впоследствии грамотно организовать ...