Основные типы поверхностей второго порядка и их свойства

Эллипсоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом. Эллипсоид изображен на рисунке 1.

Рис.1

Свойства эллипсоида

Эллипсоид - ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Эллиптический параболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Эллиптический параболоид изображен на рисунке 2.

Рис.2

Свойства эллиптического параболоида

Эллиптический параболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - парабола.

Однополостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом. Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 3.

Рис.3

Свойства однополостного гиперболоида

Однополостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z - любое число.

Однополостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy - гипербола.

Двуполостный гиперболоид

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Двуполостный гиперболоид изображен на рисунке 4.

Рис.4

Свойства двуполостного гиперболоида

Двуполостный гиперболоид - неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z|>c получается эллипс, при |z|=c - точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, - гипербола.

Коническая поверхность

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением , a > 0, b > 0, c > 0, называется конической поверхностью. Коническая поверхность изображена на рисунке 5.

Методологическая основа создания тематической композиции
Целью данного параграфа является рассмотрение методологической основы тематической композиции, навыков грамотного изображения, принципов художественного иллюстрирования. Сравнительный анализ понятий ...

Изменение восприятия в процессе обучения
В совокупности внутренних условий, необходимых для осуществления развивающего обучения, важное место занимает восприятие (перцептивная деятельность), которое должно органично входить в структуру техн ...