Алгебраические числа

Эта схема характеризует расширение понятия числа – центрального понятия во всей математике.

Подведем некоторый итог. Итак, многочлен с рациональными коэффициентами степени n имеет ровно n корней. Среди корней многочленов могут быть иррациональные и действительные числа. Может случиться, что все корни будут комплексными числами.

Тема 3.2. Алгебраические числа.

10. Понятие поля. Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.

Определение. Множество чисел М называется замкнутым относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел М, для которых определен результат данного действия, число, являющееся этим результатом, принадлежащим М.

Примеры. Множество натуральных чисел N замкнуто относительно сложения, т.е. результат сложения двух натуральных чисел является всегда числом натуральным. В отношении умножения множество N так же замкнуто. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Определение. Множество чисел k, содержащие не менее двух чисел, называется полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления (конечно, при условии, что знаменатель отличен от нуля).

Последнее означает, что для любых двух чисел из множества k результаты действий a + b, a - b, a × b, a: b также принадлежат множеству k.

20. Примеры полей. Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

поле рациональных чисел;

поле вещественных чисел;

поле комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является кольцом, т.е. замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Примерами нечисловых колец являются многочлены от одной или нескольких переменных, симметрические многочлены. Примером нечислового поля служит множество симметрических дробно - рациональных функций, т.е. отношения симметрических многочленов.

Существует бесконечно много числовых полей. Например, множество всех чисел вида , где a, b – рациональны, - является полем. Заменяя на другую квадратичную рациональность – корень квадратного трехчлена с рациональными коэффициентами, получим новые поля.

С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется рассмотрение чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному полю.

30. Понятие алгебраического числа.

Определение. Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными (или целыми) коэффициентами.

Определение. Неалгебраическое число называется также трансцендентным.

Примерами трансцендентных чисел являются числа p (отношение длины окружности к ее диаметру) и e (основание натуральных логарифмов). Трансцендентных чисел больше, чем алгебраических, однако доказательство трансцендентности конкретного числа – трудная математическая задача.

40. Простейшие свойства алгебраических чисел.

Каждое рациональное число a является алгебраическим, так как оно является корнем многочлена x - a с рациональными коэффициентами.

Если a – положительное рациональное число, то являются алгебраическим, как корни многочленов x2 - a, x3 - a. Можно доказать, что корень n–ой степени из алгебраического числа является алгебраическим числом.

Учебное конструирование на занятиях в учебных мастерских
Иным является соотношение между этапами моделирования, когда оно проводится в школе. Подготовка технической документации и изготовление модели имеют не менее важное значение для выполнения задач труд ...

Конфликты в условиях учебной деятельности
Для школы характерны разного рода конфликты. Педагогическая сфера представляет собой совокупность всех видов целенаправленного формирования личности, а ее сутью является деятельность по передаче и ос ...