Алгебраические числа

Числовые поля.

С первого класса вы изучаете различные числа, начиная с натуральных чисел и заканчивая действительными числами. Напомним основные классы чисел.

10. Основные числовые системы.

а) Натуральные числа – это числа, употребляемые для счета. Множество натуральных чисел обозначается через Ν, значит, Ν = {1, 2, 3, …}.

б) Целые число – это натуральные числа, нули и числа, противоположные натуральным. Множество целых чисел обозначается через Z, т.е. Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.

в) Рациональные числа – это отношения целых чисел, т.е. числа вида m/n, где mÎZ, nÎN. Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической. Верно и обратное, каждая такая дробь является рациональным числом. Такое представление неоднозначно, например, 1,(9) = 2,(0) = 2. Множество рациональных чисел обозначается через Q.

г) Действительные числа – можно определить как бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел обозначается через R. Каждое действительное число можно изобразить точкой на прямой (такая прямая называется числовой осью).

д) Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными. Для этого множества будем использовать букву I. Известно, что каждое иррациональное число однозначно представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Примеры: 0,010010001… (число нулей между соседними единицами неограниченно увеличивается).

е) Комплексные числа - обозначается множество комплексных чисел через C. Для вас это новое числовое множество, поэтому необходимы соответствующие определения.

20. Действия над комплексными числами. Комплексные числа можно определять как точки на координатной плоскости или пары действительных чисел. Сложение и умножение пар определяется правилами:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)×(c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Сложение пар определено покоординатно, а умножение существенно более сложным образом (его смысл будет ясен чуть позже). Отметим, что вычитание и деление можно вводить обычным образом, как решения соответствующих уравнений:

z + x = t, zx = t (z ¹ 0)

где z и t данные комплексные числа, x – неизвестное. Можно доказать, что указанные уравнения имеют единственные решения. Кроме того, отметим, что арифметические действия обладают известными для действительных чисел свойствами, в частности, можно по обычным правилам преобразовывать дробные выражения.

Существенным отличием от действительных чисел является невозможность ввести на C порядок так, чтобы были выполнены основные свойства неравенств, в частности, почленное умножение неравенств.

30. Алгебраическая форма. Пусть i = (0;1) и называется мнимой единицей. Любое комплексное число представимо в виде z = a + bi, где a, b Î R, i – мнимая единица (i2 = - 1). Это алгебраическая форма комплексного числа z. Записывая пары в алгебраической форме, раскрывая по обычным правилам скобки, приводя подобные члены и используя равенство i2 = - 1, получим указанные выше определения действий сложения и умножения. В самом деле, (a, b)×(c, d) = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ac - bd, ad + bc).

30. Тригонометрическая форма. Каждое комплексное число a + bi изобра-жается точкой (a, b) на плоскости. Вместо этой пары можно рассматривать другую пару действительных чисел, задающих ту же точку.

Анализ тем «Обыкновенные дроби» и «Десятичные дроби» в учебниках по математике 5–6 классов федерального перечня с позиции теории деятельности
В данной главе представлен анализ структуры содержания и методики изложения учебного материала, реализованных в учебниках федерального перечня, с точки зрения соблюдения принципов теории деятельности ...

Национальное самосознание как результат осуществления гражданского воспитания
Белорусская нация представляет собой уникальное явление в том смысле, что в мире нет такой нации, представители которой так безразлично относились к своему прошлому. Уровень национального самосознани ...