Первичные понятие и простейшие свойства

(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Рассмотрим точку t = (1,0,0) и вычислим f(t) = 1, φ1(t) = 1, φ2(t) = 0, φ3(t) = 0. Подставляя найденные значения в равенство f = aφ13 + bφ1φ2 + cφ3, получаем 1 = a·1, a=1, следовательно, f = φ13 + bφ1φ2 + cφ3. Точка t = (1,1,0) приводит к значениям

f(t) = 2, φ1(t) = 2, φ2(t) = 1, φ3(t) = 0,

следовательно, после подстановки в равенство f = φ13 + bφ1φ2 + cφ3, получаем

2 = 23 + 2b, b откуда = - 3, значит,

f = φ13 - 3φ1φ2 + cφ3.

Теперь считаем значения в точке t = (1,1,1):

f(t) = 3, φ1(t) = 3, φ2(t) = 3, φ3 t) = 1,

значит, 3 = 33 - 3×3×3 + c, c = 3. Итак, f = φ13 - 3φ1φ2 + 3φ3.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.

10. Симметрические дроби.

Определение. Дробь вида f/g, где f, g – многочлены от нескольких переменных называется симметрической, если она не меняется при любых переименованиях переменных.

Нетрудно понять, что симметричность дроби не зависит от формы ее записи. Умножая числитель и знаменатель на подходящий многочлен, можно добиться, что знаменатель станет симметрическим многочленом, но тогда и числитель, очевидно, будет симметрическим многочленом. Отсюда на основании основной теоремы получаем следующий результат.

Теорема. Всякая симметрическая дробь представима в виде отношения двух многочленов, каждый из которых является многочленом от элементарных симметрических многочленов.

20. Симметричные многочлены по наборам переменных.

Определение. Пусть у нас есть два набора переменных:

x = (x1, x2,…, xn) и y = (y1, y2,…, ys).

Многочлен f = f(x1,…, xn, y1,…,ys) называется симметрическим по этим наборам, если он не меняется при любых переименованиям, как переменных x, так и y (то есть он симметричен по каждому набору отдельно).

Введем обозначения: φ1,…,φn – элементарные симметрические от переменных x, ψ1,…,ψs – элементарные симметрические от переменных y.

Теорема 2. Всякий многочлен f(x1,…, xn, y1,…,ys) симметричный по двум наборам переменных представим в виде многочлена от элементарных симметрических φ1,…,φn, ψ1,…,ψs.

Доказательство. Запишем f(x, y) в виде многочлена g(y); коэффициенты g – это многочлены hi(x) от набора x. Ясно, hi(x) - симметрические многочлены от x, а g – симметрический многочлен от y. Многочлен g по основной теореме представлен в виде многочлена от элементарных симметрических ψ1,…,ψs, причем его коэффициенты являются суммой многочленов hi(x), и значит, являются многочленами от элементарных симметрических φ1,…, φn. Тем самым, получено представление исходного многочлена через φ и ψ. ÿ

30. Формулы Виета. Вы знаете формулы Виета для квадратного многочлена. Оказывается аналогичные формулы справедливы для произвольного многочлена.

Возьмем для определенности кубический многочлен f = a0x3 + a1x2 + a2x + a3. Допустим, нам известны корни многочлена f; пусть это будут числа γ1, γ2, γ3. Тогда по теореме Безу верно равенство: f(x) = a0(x - γ1)(x - γ2)(x – γ3). Сравнивая коэффициента при одинаковых степенях x, получаем

a1 = - a0φ1(γ), φ1(γ) = - a1/a0,

a2 = a0φ2(γ), φ2(γ) = a2/a0,

a3 = - a0φ3(γ), φ3(γ) = - a3/a0.

Формулы для вычисления значений элементарных симметрических многочленов от корней данного многочлена называются формулами Виета. Для кубического многочлена они имеют вид φ1(γ) = - a1/a0, φ2(γ) = a2/a0, φ3(γ) = - a3/a0. Если коэффициенты многочлена a0x3 + a1x2 + a2x + a3 положительны, то в этих формулах знаки чередуются.

Методические рекомендации по организации изучения факультативного курса «Алгебраические числа»
Для разработки рекомендаций по организации работы сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения дополнительного образования и уроков по математике: преемственность в содержании, ...

Поведение учителя
Мой успех урока складывается также из уважения учащихся ко мне как к профессионалу и личности, поэтому внешний вид играет важную роль в педагогическом диалоге и контакте. Встреча с классом это ответс ...