Первичные понятие и простейшие свойства

Из основного курса вам известны понятия одночлена и многочлена от нескольких переменных. Вы знакомы также с понятием степени и знаете ее свойства: при умножении многочленов степени складываются, при сложении многочленов степень не может увеличиться, она может уменьшиться.

10. Старшие члены многочленов. Далее, одночлены одной степени можно сравнивать, сравнивая их наборы показателей, например, набор (2, 3, 5) больше, чем набор (2, 3, 4), поэтому мы считаем, что одночлен 7x2y3z5 больше одночлена 12x2y3z4. Сравнивая одночлены, мы сравниваем только показатели сначала по первой переменной (в данном случае по x), потом по второй переменной (это y), затем по следующей переменной (это z). Коэффициенты при одночленах, в данном случае – это числа 7 и 12, мы никак не сравниваем.

Определение. Среди одночленов, входящих в многочлен, имеется самый большой в указанном выше смысле, он называется старшим членом многочлена.

Легко сообразить, что при умножении старших членов получается старший член произведения многочленов. Поскольку при сложении многочленов не могут появиться новые одночлены, то старший член суммы не больше старшего члена одного из слагаемых.

20. Понятие симметрического многочлена.

Определение. Многочлен ƒ (от нескольких переменных) называется симметрическим, если он не меняется при любом переименовании переменных.

Рассмотрим всевозможные переименования переменных.

Для двух переменных x и y возможно только одно переименование:

x → y, y → x, которое обозначим через (12).

Три переменные (x, y, z): x → y, y → z, z → x (его обозначим через (123));

аналогично вводятся переименования

(12) x → y, y → x, z → z; (13) x → z, z → x, y → y;

(23) x → x, y → z, z → y; (132) x → z, z → y, y → x и т.д.

Приведем пример симметрического многочлена: ƒ = x2 + y2. Это многочлен от двух переменных, поэтому рассмотрим единственное возможное переименование переменных (12): (x2 + y2)(12) = y2 + x2 = ƒ. Следовательно, ƒ симметричен. Но следует заметить, что он несимметричен для переименования (23), так как (x2 + y2)(23) = y2 + z2, следовательно, данный многочлен не является симметрическим от трех переменных.

Для дальнейшего изучения данной темы нам потребуются два утверждения, которые мы с вами примем без доказательства.

Критерий симметричности многочлена. Многочлен ƒ от n переменных симметричен тогда и только тогда, когда он не меняется при следующих двух переименованиях переменных (12) и (12…n).

Таким образом, проверять надо только два переименования переменных, а не n! («эн» факториал) переименований, указанных в определении симметрического многочлена. Напомним, что факториал n! определяется как произведение чисел от 1 до n!

В частности, для проверки симметричности многочлена ƒ от 3 переменных нам надо проверить меняется ли он при переименованиях (12) и (123).

Теорема. Сумма, разность и произведение симметрических многочленов являются симметрическими многочленами.

20. Элементарные симметрические многочлены.

Важными примерами симметрических многочленов служат элементарные симметрические многочлены. Приведем их для некоторых наборов переменных.

Для двух переменных (x, y) существует два элементарных симметрических многочлена:

j1 = x + y (сумма переменных);

j2 = xy (произведение переменных);

2. Для трех переменных существует три элементарных симметрических многочлена:

j1 = x + y + z (сумма переменных)

j2 = xy + xz + yz (сумма произведений двух различных переменных)

j3 = xyz (произведение трех переменных)

Для четырех переменных существует четыре элементарных симметричных многочлена:

j1 = x + y + z + t (сумма переменных)

j2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt (сумма произведений по два)

j3 = xyz + xzt + yzt + xyt (сумма произведений по три)

j4 = xyzt (произведение всех переменных)

Приведем два утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.

Лемма 1. Показатели степеней старшего члена симметрического многочлена расположены в невозрастающем порядке.

Докажем это утверждение для 3 переменных: x, y, z; общий случай рассматривается точно также. Пусть u – старший член; u = axiyjzk, где a – число, i, j, k – показатели степеней. Необходимо проверить, что i ≥ j ≥ k. Допустим от противного, что i<j. Тогда, так как f - симметричный многочлен, то f = f(12), значит, среди одночленов, входящих в его состав, содержится одночлен: (axiyjzk)(12) = axjyizk. Поскольку по предположению i<j, то одночлен axjyizk будет больше старшего члена, и это противоречит определению. Следовательно, i ≥ j. Аналогично проверяется неравенство j ≥ k. ÿ

Лемма 2. Каждый одночлен от элементарных симметрических многочленов однозначно определяется своим старшим членом.

Возрастные особенности младших подростков
Систематический курс дробей, согласно стандарту общего математического образования, входит в курс арифметики и изучается в 5-ом и 6-ом классах средней школы. В связи с переходом на четырехлетнее обуч ...

Инновационный урок – как современная форма организации урока
В педагогике классно-урочная система предусматривает различные формы организации учебно-воспитательного процесса: домашняя учебная работа (самоподготовка), экскурсии, практические занятия и производс ...