Признаки делимости

Например:

124 (24 4 = 6);

103 456 (56 4 = 14).

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с десятков, делится на 5. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 5, достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (Следствие из свойства 3).

Например:

125; 10 720.

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

Обоснование: Так как 6 = 2·3, и НОД (2, 3) = 1, то для того что бы число делилось на 6 нужно чтобы это число делилось на 2 и на 3.

Например:

126

6 – четное

1 + 2 + 6 = 9

9 3 = 3

Следовательно 126 делится на 6.

Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

Обоснование проводится аналогично обоснованию признака делимости на 3.

Например:

1179

1 + 1 + 7 + 9 = 18

18 9 = 2.

Следовательно, 1179 делится на 9.

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

Обоснование: любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Каждое слагаемое, начиная с сотен, делится на 10. Поэтому чтобы вся сумма делилась на 10, достаточно, чтобы последняя цифра числа оканчивалась на 0.

Например: 30; 980; 1200; 1570.

Признак делимости чисел на 11

На 11 делятся натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равны сумме цифр, занимающих нечетные места. Или: разность суммы цифр нечетных мест и суммы цифр четных мест кратна 11.

Обоснование: Любое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

= an · 10n + … + 10а1 + а0.

Докажем 2 леммы.

Лемма 1. Для любого n ≥ 0 число 102n+1 +1 нацело делится на 11.

Доказательство. (ММИ)

1. При n = 0: (101 + 1) 11.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (102k+1 + 1) 11.

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (102k+3 + 1) 11.

(102k+3 + 1) = (102 · 102k+1 + 1) = [102(102k+1 + 1) – 99] 11, так как первое слагаемое 102(102k+1 + 1) делится на 11 по предположению и второе слагаемое – 99 также делится на 11.

Лемма 2. Для любого n ≥ 0 число 102n – 1 нацело делится на 11.

Доказательство. (ММИ)

1. При n = 1: (102 – 1) 11.

2. Пусть при n=k выполнено следующее: (102k – 1) 11.

3. Докажем, что при n=k +1 выполнено следующее: (102k+2 – 1) 11.

(102k+2 – 1) = (102 · 102k – 1) = [102(102k – 1) + 99] 11, так как первое слагаемое 102(102k – 1) делится на 11 по предположению и второе слагаемое 99 также делится на 11.

Имеем:

= an · 10n + an–1 · 10n–1 + … + 10а1 + а0.

Пусть n – четное. Тогда:

= an · 10n + an–1 · 10n–1 + … + 10а1 + а0 =

= an · (10n – 1) + an + an–1 · (10n–1 + 1) – an–1 + … + (10 + 1)а1 – а1 + а0 =

= [an · (10n – 1) + an–1 · (10n–1 + 1) + … + (10 + 1)а1] + [an – an–1 + … – а1 + а0] =

[an · (10n – 1) + an–1 · (10n–1 + 1) + … + (10 + 1)а1] + [an +…+ а0 – (an–1 + …+ а1)]

Первое слагаемое в квадратных скобках нацело делится на 11 по леммам 1, 2. Для того чтобы вся сумма делилась на 11, нужно чтобы второе слагаемое тоже делилось на 11, а второе слагаемое состоит из разности суммы цифр состоящих на четных местах и на нечетных местах.

Поисковая активность как основа творчества
Ориентация современной школы на гуманизацию процесса образования и разностороннее развитие личности предполагает, в частности, необходимость гармоничного сочетания собственно учебной деятельности, в ...

Характеристика экспериментальной системы упражнений на формирование навыка «правильности» чтения у умственно отсталых третьеклассников
Целью обучающего эксперимента является разработка системы упражнений дидактических игр, выполнение которой позволит повысить эффективность работы по формированию навыка «правильности» чтения у умстве ...