История возникновения и развития числовых понятий

Для изложения материала данного раздела мы предлагаем метод рассказа. Он предполагает устное повествовательное изложение содержания учебного материала.

Первичные понятие и простейшие свойства. В данной теме необходимо уделить внимание усвоению детьми определения симметрического многочлена и возможности формирования навыков переименования переменных. Для введения понятия переименования переменных мы предлагаем наглядно - иллюстративный метод: рассмотреть различные переименования для конкретного числа переменных. Аналогичным способом мы предлагаем рассматривать элементарные симметрические многочлены. Это позволит не только сформировать навыки по записи элементарных симметрических многочленов для конкретного числа переменных, но и понять закономерность процесса построения таких многочленов. В данной теме приводятся четыре утверждения, которые в последующем потребуются для доказательства более сложных теорем и свойств. Мы посчитали целесообразным доказать только два из них (утверждение 3, 4), так как доказательство этих фактов можно провести на конкретном примере и оно не является слишком абстрактным для понимания детей в 8-10 классах.

Основные теоремы о симметрических многочленах. В данной теме трудности могут возникнуть с пониманием алгоритма выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические. Поэтому на данном занятии стоит сразу отработать данный алгоритм на решении задач аналогичных примеру рассмотренному в доказательстве теоремы.

Некоторые применения основной теоремы. Здесь рассматриваются симметрические дроби, симметрические многочлены по наборам переменных и формулы Виета. В рассмотрении данной темы необходимо акцентировать внимание на вывод формул Виета. Его необходимо провести на конкретном примере. После их вывода необходимо закрепить знания формул при решении задач. При рассмотрении понятия симметрической дроби можно предложить детям, интересную на наш взгляд, задачу о представлении симметрической дроби в виде отношения двух симметрических многочленов, которая позволит лучше понять основное свойство дроби и само понятие симметрической дроби. Теорема о строение симметрических многочленов необходима для доказательства теоремы о структуре множества алгебраических чисел.

Алгебраические числа.

Числовые поля. Материал данного раздела рассматривается подробно в 8 классе, поэтому начальные этапы рассмотрения носят скорее обобщающий характер. А вот новое в данном вопросе – комплексные числа. При описании этого числового множества, мы предлагаем рассмотреть пары чисел на декартовой плоскости и действия над такими парами. Затем вводится мнимая единица i и приводится представление комплексного числа в алгебраической форме (знакомство с формулой Эйлера и теоремой Муавра на данном этапе почти невозможно по ряду очевидных причин, прежде всего, ввиду отсутствия достаточных знаний по тригонометрии). Здесь же предполагается знакомство с полярной системой координат и тригонометрической формой комплексного числа. Основное внимание следует уделить арифметическим действиям над комплексными числами, решению линейных и квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами. Мы умышленно предлагаем расширенный список задач на комплексные числа. В нем содержатся разнообразные задачи, связанные с геометрическим представлением комплексных чисел. При решении этих задач используются свойства прямоугольных треугольников и окружностей, т.е. наблюдаются определенные межпредметные связи. Следует обратить внимание на задачи, использующие понятие расстояния между точками на плоскости и его интерпретацию на языке комплексных чисел.

Нет сомнения в том, что задачи на комплексные числа способны вызвать живой интерес учащихся. С помощью задач можно организовать индивидуальную самостоятельную работу, а потом разобрать их решения на дополнительном занятии.

После рассмотрения числовых множеств для более наглядного понимания и для закрепления удобно привести графическую диаграмму, иллюстрирующую расположение основных числовых множеств. Учащиеся должны понять вложение числовых множеств одно в другое. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Этот факт следует даже из определения целых чисел – это натуральные числа, противоположные к ним и нуль. Поэтому круг, изображающий множество натуральных чисел, находится внутри круга целых чисел. Аналогичные рассуждения можно провести и с другими множествами. Необходимо обратить внимание на расположение рациональных и иррациональных чисел. Они не являются подмножествами друг друга. Дети должны понять, что все действительные числа делятся на непересекающиеся множества рациональных и иррациональных чисел.

Особенности семейного воспитания в современном обществе
Начальной структурной единицей общества, закладывающей основы личности, принято считать семью. Она связана кровными и родственными отношениями и объединяет супругов, детей и родителей, включающих одн ...

Алгебраические числа
Числовые поля. С первого класса вы изучаете различные числа, начиная с натуральных чисел и заканчивая действительными числами. Напомним основные классы чисел. 10. Основные числовые системы. а) Натура ...