Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений

Если в уравнении a=b, то сечения плоскостями параллельными ХОУ являются окружностями, и поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Поверхность можно еще получить, вращая вокруг оси прямую, которая не пересекает ось и не параллельна ей. Изображение однополостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис.18.

Двуполостный гиперболоид вращения

, a=b (5)

Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями параллельными плоскости ХОУ. Пусть секущая плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами (o, o,h) в сечении получится линия, заданная уравнениями: .

Это уравнение имеет решение при |h| c. При |h|=c в сечении получаются две точки А (o, o, h) и В (o, o, - h) - вершины гиперболоида. Если |h|>c, то в сечении получается окружность. Её уравнения , где .

Полуоси этой окружности увеличиваются с увеличением |h|. В сечении гиперболоида координатой плоскостью XOZ, получаем гиперболу. Её уравнение на плоскости XOZ: или . Действительная ось гиперболы расположена на оси OZ, на этой гиперболе лежат концы осей (равных 2 а), эллипсов, полученных в сечениях плоскостями z=h. В сечении гиперболоида плоскостью YOZ также получится гипербола. Её уравнение в плоскости: . У двуполостного гиперболоида вращения в уравнении (5) a=b, в сечении его плоскостями z=h, получаются окружности. Всё перечисленное выше позволит нам изобразить двуполостный гиперболоид вращения. Изображение двуполостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис. 19.

Эллиптический параболоид вращения

, a=b (6)

При z=0 это уравнение не имеет решений, при z=0 есть единственное решение: x=0, y=0, z=0. Получим координаты точки 0 (начало координат), которая называется вершиной параболоида. Все остальные его точки находятся над плоскостью ХОУ. В сечении поверхности плоскостями z=h (h>0) получаем окружнорсти, их уравнения: или , где . Оси окружности увеличиваются при возрастании h. В сечениях плоскостями XOZ и YOZ получаются параболы и . Изображение эллиптического параболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис. 20.).

Содержание понятий "активность", "творчество", "творческая активность", "развитие творческой активности"
"Направленность современного образования на развитие личности ребенка требует выявления, определения тех ее свойств, воздействие на которые способствует развитию личности в целом. В качестве одн ...

Институт благородных девиц
Долгое время слово “институтка” вызывало ассоциации лишь с чем-то жеманным, пронафталиненным и нежизнеспособным. А сегодня все чаще в рекламе учебных заведений встречается словосочетание “институт бл ...