Построение поверхностей вращения второго порядка методом параллельных ссечений

Если в уравнении a=b, то сечения плоскостями параллельными ХОУ являются окружностями, и поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения. Поверхность можно еще получить, вращая вокруг оси прямую, которая не пересекает ось и не параллельна ей. Изображение однополостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис.18.

Двуполостный гиперболоид вращения

, a=b (5)

Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями параллельными плоскости ХОУ. Пусть секущая плоскость пересекает ось OZ в точке с координатами (o, o,h) в сечении получится линия, заданная уравнениями: .

Это уравнение имеет решение при |h| c. При |h|=c в сечении получаются две точки А (o, o, h) и В (o, o, - h) - вершины гиперболоида. Если |h|>c, то в сечении получается окружность. Её уравнения , где .

Полуоси этой окружности увеличиваются с увеличением |h|. В сечении гиперболоида координатой плоскостью XOZ, получаем гиперболу. Её уравнение на плоскости XOZ: или . Действительная ось гиперболы расположена на оси OZ, на этой гиперболе лежат концы осей (равных 2 а), эллипсов, полученных в сечениях плоскостями z=h. В сечении гиперболоида плоскостью YOZ также получится гипербола. Её уравнение в плоскости: . У двуполостного гиперболоида вращения в уравнении (5) a=b, в сечении его плоскостями z=h, получаются окружности. Всё перечисленное выше позволит нам изобразить двуполостный гиперболоид вращения. Изображение двуполостного гиперболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении 2 рис. 19.

Эллиптический параболоид вращения

, a=b (6)

При z=0 это уравнение не имеет решений, при z=0 есть единственное решение: x=0, y=0, z=0. Получим координаты точки 0 (начало координат), которая называется вершиной параболоида. Все остальные его точки находятся над плоскостью ХОУ. В сечении поверхности плоскостями z=h (h>0) получаем окружнорсти, их уравнения: или , где . Оси окружности увеличиваются при возрастании h. В сечениях плоскостями XOZ и YOZ получаются параболы и . Изображение эллиптического параболоида и его сечений координатными плоскостями представлено в приложении (приложение 2, рис. 20.).

Факторы развития технического мышления
Главная функция технического мышления состоит в решении задач. В процессе решения задач формируются необходимые качества технического мышления. Для технологических задач характерны следующие три моме ...

Особенности возникновения и развития хохломской росписи
Хохломская роспись, русский народный художественный промысел. Возник во 2-й половине 17 в. на территории современного Ковернинского района Горьковской области; название промыслу дало торговое с. Хохл ...